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プログラミングする数学信者

数学信者が数学とプログラミングの話題を中心にして何か書きます

Q上の加法的関数

数学

今回はこの問題を解きます。


関数f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q} で、
\forall x,y\in\mathbb{Q},\: f(x+y)=f(x)+f(y)\tag{1}\label{eq1}
を満たすものを決定するという問題です。

先に答えを言うと、
f(x)=ax\quad (a\in\mathbb{Q})\tag{2}\label{eq2}
という形に限られます。この形の関数は確かに\eqref{eq1}を満たします。

では、実際に答えが\eqref{eq2}に限られることを示します。まずは特別な場合について考えます。\eqref{eq1}より、f(0)=f(0)+f(0)およびf(0)=f(x)+f(-x)が成り立ちます。この2つの式を使うと、
f(x)=-f(x)\tag{3}\label{eq3}
がわかります。

次にn\in\mathbb{Z},x\in\mathbb{Q}に対して
f(nx)=nf(x)\tag{4}\label{eq4}
が成り立つことを見ます。n=0のときは明らか。n>0のときは
f(nx)=f( (n-1) x )+f(x)\tag{5}\label{eq5}
を繰り返し使うことによりわかります。n<0のときは
f(nx)=(-n) f(-x)=(-n)(-f(x))=nf(x)\tag{6}\label{eq6}
と示せます。

さて、\eqref{eq4}より直ちに、p\in\mathbb{Z},p\neq 0に対して
\displaystyle f\left( \frac{1}{p} \right) = \frac{1}{p} f(1) \tag{7}\label{eq7}
が成り立つことがわかります。任意のx\in\mathbb{Q}は、
\displaystyle x=\frac{p}{q} \quad (p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0)\tag{8}\label{eq8}
と表せるので、\eqref{eq4}\eqref{eq7}より
\displaystyle f\left( \frac{p}{q} \right) = \frac{p}{q} f(1) \tag{9}\label{eq9}
がわかります。最後に適当にf(1)を決めれば\eqref{eq2}となります。■

ところで、問題の答えの関数に関して興味深いツィートがありました。


自分ではすぐにわかりませんでした。気が向いた時に考えます。

追記(2016.02.20)

こんなコメントをもらいました。