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プログラミングする数学信者

数学信者が数学とプログラミングの話題を中心にして何か書きます

レプリカ法で出てくる極限公式

数学 物理学

統計力学スピングラスを扱うときや、entanglement entropyを計算するとき等に、レプリカ法という計算手法が使われます。レプリカ法の詳細については書きませんが、この手法では次の極限公式が基本となります。
\displaystyle \ln Z = \lim_{n\rightarrow 0} \frac{Z^n-1}{n}
ただしZ,nは実数とします。基本的な公式なのですが、証明に手こずってしまったので、ここに証明をメモします。

公式の右辺について考えます。
f(n)=Z^n
とすると、公式の右辺は
\displaystyle \lim_{n\rightarrow 0} \frac{f(n)-f(0)}{n-0}
と書き換えることができます。これはf(n)n=0における微分係数です。よって
f'(n)=Z^n \ln Z
*1を用いれば、極限公式が示せます。

めでたし、めでたし。

*1:高校数学で習います