レプリカ法で出てくる極限公式 - Beyond the State-of-the-Art

統計力学でスピングラスを扱うときや、entanglement entropyを計算するとき等に、レプリカ法という計算手法が使われます。レプリカ法の詳細については書きませんが、この手法では次の極限公式が基本となります。
$\displaystyle \ln Z = \lim_{n\rightarrow 0} \frac{Z^n-1}{n}$
ただし $Z,n$ は実数とします。基本的な公式なのですが、証明に手こずってしまったので、ここに証明をメモします。

公式の右辺について考えます。
$f(n)=Z^n$
とすると、公式の右辺は
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow 0} \frac{f(n)-f(0)}{n-0}$
と書き換えることができます。これは $f(n)$ の $n=0$ における微分係数です。よって
$f'(n)=Z^n \ln Z$
*1を用いれば、極限公式が示せます。

めでたし、めでたし。

参考サイト

Replica trick - Wikipedia, the free encyclopedia

*1:高校数学で習います