統計力学でスピングラスを扱うときや、entanglement entropyを計算するとき等に、レプリカ法という計算手法が使われます。レプリカ法の詳細については書きませんが、この手法では次の極限公式が基本となります。
ただしは実数とします。基本的な公式なのですが、証明に手こずってしまったので、ここに証明をメモします。
公式の右辺について考えます。
とすると、公式の右辺は
と書き換えることができます。これはの
における微分係数です。よって
*1を用いれば、極限公式が示せます。
めでたし、めでたし。
*1:高校数学で習います